这个桌子是怎么回事，戳开这个文的人我想都是知道的，我就不说了
我想说的是这张桌子，9.6m长的
关于中间那块8m长的预变形板是怎么制作的，我有一点小小的想法。这里不得不说的是，我看到的文章里对这块板的材质有不同的说法，有说是铝的，有说是钢的，照片里面出现的注解写的是“A6061”（天板注解右侧部分有个小字的注解，A6061—T6），这是一种铝材的标号，所以我是按照A6061铝来计算的。
地球人都知道反拱然后让挠度和反拱抵消，问题在于你怎么知道需要反拱多少呢？设计制作预变形，关键就在于对这个变形有一个精确描述。第一个冒出来的想法就是求出挠度曲线，然后按照这个曲线制作变形。完成后将曲线反向放置就能抵消挠度。于是直接上手按照经典材料力学的理论计算挠度曲线，然而没有开始算就发现了问题——经典的理论不适用，这块板完全不能用简支梁来算。进一步思考，求挠度曲线这个方向也是错误的，正确的方向应该是从曲率入手求解预变形曲线。
最后经过若干思考和尝试，我得到了这条曲线，图里的单位是mm，和一村先生提供的照片里的加工曲线看着几乎是一样的。主要差别就在于曲线的具体数值上并不是完全一样的，仔细看一下数轴就能发现，这一点我有一些说明。
1、我在计算时候，需要积分的地方，其实都是采用梯形法求积分，没有用拉格朗日插值法什么的计算，这是限于我自己的知识水平问题以及我偷懒了。其次，计算过程有tan这样一个函数，我用的是EXCEl做计算，这个函数是怎么计算的，带进整过过程后，误差传递是怎样的也不知道，所以精度还不够高。
2、我没有真实的参数，材料性质、桌面上的物品荷载我都不知道，所以用了中国的A6061铝材的参数并只计算了自重的作用。实际上大部分铝都是合金，不同的品种材性有不同程度的差别，每个国家冶炼技术有所不同，同一标号细节上也有差异。此外，桌面上需要放置什么我也不知道，荷载偏低导致我计算出来的曲线曲率没有那么大。
3、真实的加工曲线用五段圆弧逼近的办法做成，我猜测是因为制造技术需要这样逼近，而且这样逼近之后确实更容易制造。考虑到第二条原因中荷载不明，因为桌子上还有其他不定的荷载，我想这个圆弧的选择应该是朝着曲率变大的方向偏移的。
最后说一句，8m这个长度的板，可能就是极限了，A6061-T6铝的屈服强度为240Mpa，8m的板材最大应力达到220Mpa，更长的板可以做，但是因为工业生产的模数化需要可能就不再生产了。所以为什么要把桌面分成三块来做，并不是我当初在一村先生相册里扯的那些蛋那样的，大概纯粹就是因为没有更长的板了，建筑师又希望能做出9.6m这样惊世骇俗的跨度的原因。
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
请特别注意，我也不知道我的想法是不是正确的，只是提供一个可能正确的答案，算是抛砖引玉吧
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
————————————————————我是分割线——————————————————
然后我们来谈谈我是怎么想的吧，当然我觉得对于大部分戳开这篇文的人也许是学建筑城规啊，搞各种设计的，也有可能是爱好这个的文艺青年神马的，看到这里知道有一个人想到了一个“可能”正确的方法（千万注意，是可能正确，我也不知道是不是对的~），能计算那张板就可以了，方法最后我会写。然后我的考虑过程你完全可以不去理会，当然如果有高手来了，希望你能看懂我的想法，并且找到其中不对的地方，然后告诉我正确的答案，我会非常高兴，我也只是一个菜鸟，很希望能和高手们学习学习。
首先，让我从发现经典理论可能在这里不适用的地方开始，简支梁模型下挠度的计算具体曲线不用说很多，只取一个指标就明白了，跨中挠度f
*（如果你不明白简支梁是什么，跳过以下所有内容直接到最后结论吧）
出于计算简单的考虑，以下所有计算取1m宽板带
*（如果你觉得1m和2.6m有区别，这样算不对，你不用看推导过程了，直接跳到最后的结论吧）
也就是7m啊，亲！你相信么？反正我不信！经典的简支梁在这里就被毙掉了！解决问题需要找到问题在哪里，所以要回到经典的材料力学，看看是哪里错了。
材料力学解决的都是弹性小变形，整个过程附加很多假定，忽略很多小量。比如下面两根梁，任何梁弯曲时候其端点其实都是向下和向固端移动的，但是第一根梁处于小变形状态，向下移动的量很明显，向固端移动的量几乎无法察觉，我所学习的材料力学忽略了它。如果弯曲程度达到第二根梁的状态，那么这个量不能忽略，实际上这时候已经是大变形，超出了经典材料力学的范围了。所以我们需要对造成误差的部分做一些修正。
受弯构件平截面假定，这个是不能少的，这样一个板作为一个普通梁，受弯，弹性变形，没有理由毙掉平截面假定，所以平截面假定要采用。然后让我们从最基本的推倒开始吧~因为要考虑大变形问题，所以经典理论里面dx我全部还原成ds，一直到公式1如果把我写的ds换成dx就和经典公式一样了
*（平截面假定不知道的直接跳到最后，你不用浪费时间了）
*（这是经典理论在弯曲部分的微元，不知道的，不用浪费时间了）
利用曲率的数学定义得到第一个式子
利用微元的特性，小角近似，以直代曲，得到第二个式子
然后利用力与应力的关系
接着引入力的平衡条件，轴力为零，弯矩与外力平衡
公式1
到这里位置，线弹性前提和平截面假定推倒的结果都没什么不可以接受的地方，不能接受的误差来源是后面的变形分析，回到材料力学的理论，让x暂时代替一下s的位置
因为小变形，所以y‘很小，认为y'近似就是零，所以得到
公式2
好了，到这里就得到了无比经典的挠曲线微分方程，变形的计算也完成了，来看看这个方程有什么问题。
仔细分析之后，我找到引起最大误差的两个问题
1、线微分dx与弧微分ds的近似
2、曲率κ与y”的近似
第一点，采用平截面假定之后，保持不变的应该是构件轴线长度，而不是端点位置。如前所述，悬臂梁弯曲的时候，端点应该向下的同时有水平方向的移动，但是经典的理论不能考虑这一点，因为小变形阶段认为这个量很小可以不考虑，数值上的误差可以忽略不计。
但是很抱歉，这张桌子不是小变形，这个量必须考虑，所以所有推导过程中的dx都必须还原成ds再去做
第二点，在y‘很小的时候，分母近似为1，结合公式1得到公式2。接着还要对着dx求积分两次才能得到挠度曲线 y 的表达式。
两部分的误差导致最后离奇的挠度结果。所以求出真实的挠度曲线是一件很困难的事情。而且后来我意识到也许挠度曲线并不是预变形的正确答案。
换个思路考虑问题，预变形，关键在于变形，事实上变形和挠度是两回事，变形的定量化描述应该是曲率，挠度是考虑边界条件之后的一个结果，从曲率这个角度考虑问题之后找到了可能是正确结果的解决方案。因为最终的形态是水平状态的，所以内力计算用经典的理论是不存在任何问题的，M（s）的计算和M（x）是完全一样的，只是x换成s而已。从曲率来考察变形，那么预变形的曲线就是“让板上坐标为s的点都恰好有M（s）作用下曲率的曲线”。从这一点出发可以得到一个全新的变形微分方程，可惜我不会解，因为数学就只有那么一点水准，但是没关系，我可以用数值的办法来求解。
将整个长度划分成若干块，从s=0开始，初始角度为零，计算这一个点的弯矩，然后对应的曲率，曲率×ds就是这一微段角度增量，然后累加这一角度增量，计算这一点角度。接着是斜率，有了斜率和ds就可以求dx和dy，累加dx，dy得到一个点。接着下一个弯矩、曲率、角度、斜率和点的坐标，全部计算完之后就得到了若干个点，连起来就很接近真实的曲线了。 这个流程我用EXCEL写了一个表格计算了一下，每1mm取一个计算点，得到了那条曲线
用EXCEL第一是很方便，第二也是可复制性高，如果哪位朋友有兴趣，按照下面的做，应该很容易就能得到和我相同的结果
下面是EXCEL
A列
是输进去的s值，从0到4000（取一半计算，对称的）
B列
B2=1317120-0.5*0.1617*A2^2
C列
B2/124020000
D列
赋初值D2=0
D3=D2+(C2+C3)/2
E列
E3=TAN(D3)
F列
F3=1/(E3^2+1)^0.5
G列
G3=E3/(E3^2+1)^0.5
H列
H2赋初值0
H3=H2+F3
I列
I2赋初值0
I3=I2+I3
注意，k值变为负值之后，△x和△y的计算公式需要改成负号，因为曲线的走势发生了变化，这样才能得到正确结果
然后把4001个点的结果复制一遍，其中x值改为负的，就能得到全部8m长范围内的点的坐标，最后就是画图
H4005=-H4，x改成负值
I4005=I4，y值不变，这是一个偶函数
经过我试验取到32000个点计算的结果和4000个点的相差不多。所以就实际解的效果来说，这个问题用EXCEL，用梯形积分法来做，取4000个点，还算不错，当然前提是我的想法是对的。最后扯一句，32000个点的时候，这个算法收敛接近极限了，和16000点的计算结果相差极少。
终于写完了，中间可能有笔误神马的，见谅见谅！
附：最早时候是一个建筑的朋友问我这个板怎么才能做出来，我一直在思考这个问题。最初因为自己知识和经验的缺乏，在一村先生的相册里做了很多并不完全正确的评论，那时候打算上了研究生再来详细解决这个问题，但是因为读研这件事浮云了，所以这个桌子也浮云了。几多岁月一番波折之后，还是回来继续读书了，现在终于有时间把这些时间里累计的想法付诸实践，然后似乎就解决了，注意，是似乎，因为我不知道这是不是正确的答案，但是这是我能想到的最接近正解的答案。最后说一句我的感受，确实，很多事情谁都知道大方向是怎么样的，具体怎么走真的不太容易。 |
关注公众号
川公网安备51010702000609号
发表于 2013-10-10 02:01:31
